distribucion normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.[cita requerida]

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido comométodo correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

\begin{align} \Phi_{\mu,\sigma^2}(x) &{}=\int_{-\infty}^x\varphi_{\mu,\sigma^2}(u)\,du\\ &{}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, du ,\quad x\in\mathbb{R}\\ \end{align}

Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:

\Phi(x) = \Phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{u^2}{2}} \, du, \quad x\in\mathbb{R}.

Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:

\Phi(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R},

y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:

\Phi_{\mu,\sigma^2}(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R}.

El complemento de la función de distribución de la normal estándar, 1 - \Phi(x), se denota con frecuencia Q(x), y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería.5 6 Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de \Phi.7

La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:

\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \;\operatorname{erf}^{-1} (2p - 1), \quad p\in(0,1),

y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:

\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p) = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1), \quad p\in(0,1).

Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).

Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.

Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución[editar]

Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar \scriptstyle\Phi(x) es muy próxima a 1 y \scriptstyle\Phi(-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi(x) está muy cerca de 0. Los límites elementales

\frac{x}{1+x^2}\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac{\varphi(x)}{x}, \qquad x>0,

en términos de la densidad \scriptstyle\varphi son útiles.

Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:

\begin{align} 1-\Phi(x) &=\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\ &<\int_x^\infty\frac ux\varphi(u)\,du =\int_{x^2/2}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv =-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{x^2/2}^\infty =\frac{\varphi(x)}{x}. \end{align}

De forma similar, usando \scriptstyle\varphi'(u)\,{=}\,-u\,\varphi(u) y la regla del cociente,

\begin{align} \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)(1-\Phi(x))&=\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\ &=\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\varphi(u)\,du\\ &>\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{u^2}\Bigr)\varphi(u)\,du =-\biggl.\frac{\varphi(u)}u\biggr|_x^\infty =\frac{\varphi(x)}x. \end{align}

Resolviendo para \scriptstyle 1\,{-}\,\Phi(x)\, proporciona el límite inferior.